ОБЗОРЫ

Елькин Ю.Е. "Простейшие модели возбудимых сред"

1. Введение

Одной из основных функций некоторых типов клеток в организме является генерация и передача сигнала. Эту функцию выполняет, например, нейрон при передаче нервного импульса. Обмен импульсами обеспечивает синхронное сокращение мышц миокарда. В этих и многих других подобных случаях генерация и передача импульса обеспечивается явлением возбудимости клеточной мембраны.

Качественно возбудимость мембраны можно описать следующим образом. В состоянии покоя работа калиево-натриевого (K-Na) насоса обеспечивает более высокую концентрацию ионов K⁺ внутри клетки и более высокую концентрацию Na⁺ вне клетки. В тоже время мембрана более проницаема для ионов K⁺. Поэтому они диффундируют во внеклеточную среду и создают там избыток положительного заряда. В итоге, на мембране, в нормальном состоянии, возникает электрический потенциал, равный примерно 50-70 мВ и называемый потенциалом покоя. Отрицательный полюс при этом находится на внутренней стороне мембраны. Однако, проницаемости мембраны для ионов различных типов зависят от мембранного потенциала. При уменьшении мембранного потенциала по сравнению с потенциалом покоя, проницаемость мембраны для ионов растет быстрее, чем для K⁺. Поэтому, если на мембрану подать достаточно сильный деполяризующий импульс, уменьшив мембранный потенциал примерно до 40-50 мВ (минус, по-прежнему, внутри клетки), то мембрана окажется более проницаемой для ионов Na⁺, и внутри клетки окажется избыток этих ионов. В итоге на мембране возникнет разность потенциалов с полярностью, обратной потенциалу покоя – потенциал действия. Его величина составляет около 40 мВ. Хотя проницаемость мембраны для K⁺ растет при деполяризации медленнее, чем для Na⁺, с течением времени ее рост приводит к тому, что перераспределение ионов K⁺ компенсирует избыток Na⁺ внутри клетки. В итоге мембранный потенциал возвращается к потенциалу покоя.

Распространение импульса возбуждения обеспечивается диффузией ионов вдоль мембраны из возбужденной области в область покоя. Она приводит к деполяризации соседней области мембраны и возникновению там потенциала действия. Такой механизм обеспечивает распространения вдоль нервного волокна нервного импульса длительностью около 1мс со скоростью от 1 до 100 м/с в зависимости от диаметра аксона и некоторых других факторов.

В нервном волокне импульс возбуждения распространяется в одномерной среде. В сердечной ткани среду, в которой распространяется импульс возбуждения в большинстве случаев можно считать двумерной. Иногда полезно рассматривать и трехмерные возбудимые среды.

Далее кратко описано несколько простых математических моделей возбудимых сред. Все рассмотренные модели представляют собой системы уравнений типа реакция-диффузия. В описании всех моделей использованы обозначения: t - время, Δ - оператор Лапласа. Представленные модели реализованы в программе AWM.

2. Модель Ходжкина-Хаксли

Предложена в [1] для моделирования распространения возбуждения в гигантском аксоне кальмара. Модель имеет четыре переменные: V (мембранный потенциал), n, m и h.Три последних переменных характеризуют соответственно проницаемость мембраны для ионов K⁺, Na⁺ и других типов ионов. Более современные модели отличаются от модели Ходжкина-Хаксли в основном учетом большего количества типов ионов. Одно из уравнений модели представляет собой закон Киргоффа. Остальные уравнения строятся из общефизических соображений с учетом экспериментальных данных. Они имеют вид

(1)

где введены обозначения:

(2)

Параметры модели, указанные в [1]:

(3)

3. Модель ФитцХью-Нагумо

Модель была предложена в [2]. Она представляет собой упрощенную модель, воспроизводящую основные свойства волн возбуждения в модели Ходжкина-Хаксли . Модель ФитцХью-Нагумо содержит две переменные: быструю переменную u, соответствующую мембранному потенциалу в полной модели, и медленную переменную v. Уравнения модели имеют вид

(4)

C , ε , β и γ - параметры модели, причем параметр ε предполагается малым: ε « 1. Свойства модели в зависимости от параметров исследовались в [3]. В частности, там была получена область параметров, для которых существуют спиральные волны и область параметров, для которых наблюдается меандр спиральных волн.

4. Модель Алиева-Панфилова

Модель была предложена в [4] для упрощенного описания волн возбуждения в сердечной мышце. Модель также содержит две переменных u и v. Ее уравнения имеют вид:

(5)

Параметры модели: ε ₀ « 1, k, α, µ₁, µ₂.

5. Модель Зимана

Модель предложена в [5] для учета различной крутизны переднего и заднего фронтов импульса возбуждения. Модель описывается тремя переменными, что, как показано в [5], является необходимым для различной крутизны фронтов. В программе используется модифицированная модель Зимана, дополненная двумя параметрами p и q, которые в оригинале были равны нулю. Уравнения модифицированной модели:

(6)

Переменные в модели u, v, w. Параметры модели ε, p, q.

6. Модифицированная модель Бикташева

Исходная модель была предложена в [8] для моделирования явления диссипации фронта и представляет собой упрощенную модель Ходжкина-Хаксли. Однако в таком виде модель описывала бистабильную среду и моделировала передний фронт волны возбуждения, а фактически - волну переключения. Уравнения модифицированной модели Бикташева имеют вид:

(8)

Здесь - функция Хевисайда:

(9)

Модель содержит три переменных: E, h, n и семь параметров: g_K, g_l, E_K, E_n, E_l, τ_h, τ_n.

ЛИТЕРАТУРА

A.L. Hodgkin, A.F. Huxley "A quantative description of membrane current and its application conduction and excitation in nerve", J. Physiol. 117(1952), p. 500 - 544
R.A. FitzHugh "Impulses and physiological states in theoretical model of nerve membrane", Biophys. J. 1(1961), p.445 - 466
A.T. Winfree "Varieties of spiral wave behaviour - an experimentalist's approach to the theory of excitable media" Chaos 1(1991) p.303 - 334
R.R. Aliev, A.V. Panfilov "Asimple model of cardiac excitation" Chaos, Solitons &Fractals 7(1996), N3, p.293 - 301
E.C. Zeeman "Differential equations for the heartbeat and nerve impulses" Mathematical Institute? University of Warvick, Coventry. 1972
V.N. Biktashev. "Dissipation of excitation of wavefronts" , Phys. Rev. Lett. 89(16), 2002
D.Noble. "A modification of the Hodgkin-Huxley equations applicable to Purkinje fibre action and pacemaker potentials", J. Physiol., Lond. 160(1962), p.317 -352
R. Suckley, V.N. Biktashev. "30 years on: a comparison of asymptotics of heart and nerve excitability"